একটি নক্ষত্রের ভর সূর্যের ভরের তিনগুণ। নক্ষত্রটি যদি কৃষ্ণবিবরে রুপান্তরিত হয় তবে এর সোয়ার্জচাইল্ড ব্যাসার্ধ কত? [সূর্যের ভর $=1.99 \times 10^{30} \mathrm{~kg}$ এবং মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $\left.\mathrm{G}=6.67 \times 10^{-11} \mathrm{Nm}^{2} \mathrm{~kg}^{-2}\right]$

$\text { Hints: } R_{5}=\frac{2 G M}{C^{2}}$ $\text { Solve: } R_{s}=\frac{2 G M}{C^{2}}$ [এখানে, M = নক্ষত্রের ভর, R = সোয়ার্ডস্কাইল্ড ব্যাসার্ধ] $\begin{array}{l}\mathrm{C}=3 \times 10^{8} \mathrm{~ms}^{-1} \\\Rightarrow \mathrm{R}_{\mathrm{s}}=\frac{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 3 \times 1.99 \times 10^{30}}{\left(3 \times 10^{8}\right)^{2}} \\\Rightarrow \mathrm{R}_{\mathrm{s}}=8.85 \mathrm{~km}\end{array}$ Explanation: কোন বস্তুর নক্ষত্রের মহাকর্ষ ক্ষেত্র যদি এতোটাই শক্তিশালী হয় যে, ঐ ক্ষেত্র থেকে কোন বস্তু এমনকি আলোও বের হয়ে আসতে না পারে তখন ঐ বস্তু ও বস্তুর মহাকর্ষ ক্ষেত্রের সম্পূর্ণ অঞ্চলকে বলা হবে কৃষ্ণগহ্বর বা কৃষ্ণবিবর । এ অঞ্চলের ব্যাসার্ধকে বলা হয় ঘটনা দিগন্ত বা সোয়ার্ডস্কাইল্ড ব্যাসার্ধ বা সংকট ব্যাসার্ধ। অঞ্চলটিকে কৃষ্ণবিবর বা কৃষ্ণ গহ্বর বলা হয় কারণ ঐ অঞ্চল থেকে যেহেতু আলো পর্যন্ত বের হতে পারে না তাই অঞ্চলটিকে দেখা যায় না। শুধু মাত্র অনুভব করা যাবে। যেমন: সূর্যের ব্যাসার্ধ যদি 3 km হয়ে যায় তখন সূর্য অদৃশ্য হয়ে যাবে। কিন্তু এর প্রভাব রয়ে যাবে। অর্থাৎ সূর্যকে কেন্দ্র করে গ্রহ গুলো পূর্বের মতই ঘুরবে। এখন প্রশ্ন আসতে পারে, কোন বস্তু বা আলো ঐ অঞ্চল থেকে বের হয়ে আসতে পারবে না কেন? আপাতত একটি দিক নিয়ে বলি, ঐ অঞ্চল সৃষ্টিকারী বস্তু/ নক্ষত্রের জন্য মুক্তিকো যদি আলোর বেগের সমান হয়ে যায় তখন কোন বস্তু ঐ অঞ্চল থেকে বের হয়ে আসার জন্য প্রয়োজনীয় বেগ অর্জন করতে পারে না। অর্থাৎ, ঐ অঞ্চলের জন্য $V_{e}$ = C হয়। মুক্তিবেগ এর ক্ষেত্রে আমরা জানি, $\mathrm{V}_{\mathrm{e}}=\sqrt{\frac{2 \mathrm{GM}}{\mathrm{R}}} ; \mathrm{V}_{\mathrm{e}}=\mathrm{C}$ হয়ে গেলে R = $\mathrm{R}_{\mathrm{s}}$ [ $\mathrm{R}_{\mathrm{s}}$ = সোয়ার্ডস্কাইল্ড ব্যাসার্ধ ] $\therefore \mathrm{C}=\sqrt{\frac{2 \mathrm{GM}}{\mathrm{R}_{\mathrm{s}}}} \Rightarrow \mathrm{C}^{2}=\frac{2 \mathrm{GM}}{\mathrm{R}_{\mathrm{s}}} \therefore \mathrm{R}_{\mathrm{s}}=\frac{2 \mathrm{GM}}{\mathrm{C}^{2}}$