সূর্যের চারদিকে পৃথিবীর আবর্তনকাল 365 দিন। পৃথিবী এবং সূর্যের মধ্যকার গড় দূরত্ব $1.5×10^{11}m$ হলে সূর্যের ভর কত? (মহকাষীয় ধ্রুবক, $G=6.7×10^{-11}Nm^{2}kg^{-2}$ )

পৃথিবী সূর্যের চারপাশে একটি উপবৃত্তাকার কক্ষপথে ঘোরে, তবে আমরা সরলতার জন্য এটিকে একটি বৃত্তাকার কক্ষপথ হিসাবে ধরে নিতে পারি। কক্ষীয় গতির জন্য প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল মহাকর্ষ বল দ্বারা সরবরাহ করা হয়। কেন্দ্রমুখী বল $F_c = \frac{mv^2}{r}$ , যেখানে $m$ পৃথিবীর ভর, $v$ পৃথিবীর কক্ষীয় বেগ এবং $r$ সূর্য ও পৃথিবীর মধ্যবর্তী দূরত্ব। মহাকর্ষ বল $F_g = \frac{GMm}{r^2}$ , যেখানে $M$ সূর্যের ভর এবং $G$ মহাকর্ষীয় ধ্রুবক। আমরা জানি, $F_c = F_g$ $\frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}$ $v^2 = \frac{GM}{r}$ পৃথিবীর কক্ষীয় বেগ $v = \frac{2\pi r}{T}$ , যেখানে $T$ হলো পৃথিবীর আবর্তনকাল। তাহলে, $v^2 = (\frac{2\pi r}{T})^2 = \frac{4\pi^2 r^2}{T^2}$ এই মানটি আগের সমীকরণে বসালে পাই: $\frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{GM}{r}$ $M = \frac{4\pi^2 r^3}{GT^2}$ প্রদত্ত মানগুলি হলো: $r = 1.5×10^{11}m$ $T = 365$ দিন $= 365 × 24 × 60 × 60$ সেকেন্ড $= 3.1536 × 10^7$ সেকেন্ড $G = 6.7×10^{-11}Nm^{2}kg^{-2}$ $\pi^2 ≈ 9.87$ এবার মানগুলি বসিয়ে পাই: $M ≈ \frac{4 × 9.87 × (1.5×10^{11})^3}{(6.7×10^{-11}) × (3.1536 × 10^7)^2}$ $M ≈ \frac{39.48 × 3.375 × 10^{33}}{6.7×10^{-11} × 9.945 × 10^{14}}$ $M ≈ \frac{133.29 × 10^{33}}{66.63 × 10^{3}}$ $M ≈ 2 × 10^{30}kg$