তিনটি ভেক্টর সমতলীয় হবে যদি- i. $\overrightarrow{A}.\left(\overrightarrow{B}×\overrightarrow{C}\right)=0$ ii. $\overrightarrow{B}.\left(\overrightarrow{C}×\overrightarrow{A}\right)=0$ iii. $\overrightarrow{C}.\left(\overrightarrow{A}×\overrightarrow{B}\right)=0$ নিচের কোনটি সঠিক?

তিনটি ভেক্টর সমতলীয় হলে, তারা একই সমতলে অবস্থান করে। দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণফল একটি নতুন ভেক্টর তৈরি করে যা ওই দুটি ভেক্টরের উপর লম্ব। যখন এই লম্ব ভেক্টরটি তৃতীয় ভেক্টরের সাথে ডট গুণন করা হয়, এবং যদি তৃতীয় ভেক্টরটি ওই সমতলে থাকে, তবে লম্ব ভেক্টরটির সাথে তার কোণ হবে ৯০ ডিগ্রি। ডট গুণনের সংজ্ঞানুসারে, $\overrightarrow{P}.\overrightarrow{Q} = |\overrightarrow{P}| |\overrightarrow{Q}| \cos\theta$ . যেহেতু $\cos(90^\circ) = 0$ , তাই ডট গুণফল শূন্য হবে। $\overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{C})$ হলো তিনটি ভেক্টরের স্কেলার ট্রিপল গুণফল। এই মানটি ওই তিনটি ভেক্টর দ্বারা গঠিত আয়তঘনের আয়তনের সমান। যদি ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হয়, তবে তারা কোনো আয়তন তৈরি করতে পারে না, অর্থাৎ আয়তন শূন্য হয়। স্কেলার ট্রিপল গুণফলের বৈশিষ্ট্য হলো, এটি ভেক্টরগুলোর ক্রম পরিবর্তন করলেও (সাইক্লিক পারমুটেশন) মান একই থাকে। অর্থাৎ, $\overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{C}) = \overrightarrow{B} \cdot (\overrightarrow{C} \times \overrightarrow{A}) = \overrightarrow{C} \cdot (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})$ । সুতরাং, যদি একটি স্কেলার ট্রিপল গুণফল শূন্য হয়, তবে অন্য দুটিও শূন্য হবে। তাই, i, ii, এবং iii তিনটি শর্তই সমতলীয়তার জন্য সঠিক।