নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : $\bar{A}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ এবং $\bar{B}=\hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}$ $\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{A}}$ নিচের কোনটি ?

ভেক্টর দুটির ক্রস গুণফল নির্ণয় করতে হবে। ক্রস গুণফলের সংজ্ঞা অনুযায়ী, দুটি ভেক্টর $\vec{A} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$ এবং $\vec{B} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$ এর ক্রস গুণফল $\vec{A} \times \vec{B}$ নির্ণয়ের জন্য নির্ণায়ক (determinant) ব্যবহার করা হয়: $$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$ এখানে, $\vec{A} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ এবং $\vec{B} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ । অতএব, আমাদের নির্ণয় করতে হবে $\vec{B} \times \vec{A}$ : $$\vec{B} \times \vec{A} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ নির্ণায়কের সম্প্রসারণ করে পাই: $$\vec{B} \times \vec{A} = \hat{i}((2)(1) - (-1)(-1)) - \hat{j}((1)(1) - (-1)(1)) + \hat{k}((1)(-1) - (2)(1))$$ $$\vec{B} \times \vec{A} = \hat{i}(2 - 1) - \hat{j}(1 - (-1)) + \hat{k}(-1 - 2)$$ $$\vec{B} \times \vec{A} = \hat{i}(1) - \hat{j}(1 + 1) + \hat{k}(-3)$$ $$\vec{B} \times \vec{A} = \hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$$ ক্রস গুণফলের একটি ধর্ম হলো $\vec{B} \times \vec{A} = -(\vec{A} \times \vec{B})$ । তাই, $\vec{A} \times \vec{B}$ নির্ণয় করে তার ঋণাত্মক মান নিলেও একই উত্তর পাওয়া যাবে। দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণফল একটি লম্ব ভেক্টর নির্দেশ করে।