$f(x)=x,g(x)=cosx^{2}$ হলে - i. $\int\frac{2}{f(x)}dx=2ln(x)+c$ ii. $\int_{0}^{1}2xg(x)dx=\frac{\pi}{2}$ iii. $g'(x)=-2xsinx^{2}$ নিচের কোনটি সঠিক?

আমরা প্রতিটি বিবৃতি পরীক্ষা করি। i. $\int\frac{2}{f(x)}dx = \int\frac{2}{x}dx = 2\int\frac{1}{x}dx = 2ln|x|+c$ . প্রদত্ত বিবৃতি $2ln(x)+c$ । $x>0$ এর জন্য এটি সঠিক, কিন্তু $x<0$ এর জন্য $ln|x|$ ব্যবহার করা উচিত। তবে, সাধারণ ক্ষেত্রে, $ln(x)$ লেখা হয় যেখানে $x>0$ ধরা হয়। তবুও, যদি $x<0$ হয় তবে এটি সঠিক নয়। ii. $\int_{0}^{1}2xg(x)dx = \int_{0}^{1}2x\cos(x^2)dx$ . এখানে $u=x^2$ ধরলে $du=2xdx$ . যখন $x=0$ , $u=0$ . যখন $x=1$ , $u=1$ . সুতরাং, $\int_{0}^{1}\cos(u)du = [\sin(u)]_{0}^{1} = \sin(1) - \sin(0) = \sin(1)$ . $\sin(1)$ প্রায় $0.84$ যা $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ এর সমান নয়। সুতরাং, বিবৃতিটি ভুল। iii. $g(x)=\cos(x^2)$ . $g'(x)$ নির্ণয় করার জন্য চেইন রুল ব্যবহার করি। $g'(x) = \frac{d}{dx}(\cos(x^2)) = -\sin(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)$ . সুতরাং, বিবৃতিটি সঠিক। যেহেতু বিবৃতি i এবং iii সঠিক, তাই বিকল্প 2 সঠিক।