$\int_{2}^{4}lnxdx=$ কত ?

$\int_{2}^{4} \ln x \, dx$ নির্ণয় করতে, আমরা অংশগুলির ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করব। ধরি, $u = \ln x$ এবং $dv = dx$ তাহলে, $du = \frac{1}{x} dx$ এবং $v = x$ অংশগুলির ইন্টিগ্রেশন সূত্র হলো: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ অতএব, $\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx$ $= x \ln x - \int 1 \, dx$ $= x \ln x - x + C$ এখন আমরা নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালের সীমা প্রয়োগ করব: $\int_{2}^{4} \ln x \, dx = [x \ln x - x]_{2}^{4}$ $= (4 \ln 4 - 4) - (2 \ln 2 - 2)$ $= 4 \ln(2^2) - 4 - 2 \ln 2 + 2$ $= 4 \cdot 2 \ln 2 - 4 - 2 \ln 2 + 2$ $= 8 \ln 2 - 4 - 2 \ln 2 + 2$ $= (8 \ln 2 - 2 \ln 2) + (-4 + 2)$ $= 6 \ln 2 - 2$ সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো $6 \ln 2 - 2$ .