n বিজোড় পূর্ণসংখ্যা হলে $sin\left(n\pi+(-1)^{n}15^{^{\circ}}\right)=?$

n একটি বিজোড় পূর্ণসংখ্যা হওয়ায়, আমরা লিখতে পারি n = 2k + 1 যেখানে k একটি পূর্ণসংখ্যা। তাহলে, $(-1)^n = (-1)^{2k+1} = -1$ . এখন, প্রদত্ত রাশিটি হলো $sin\left(n\pi+(-1)^{n}15^{^{\circ}}\right)$ . n বিজোড় হওয়ায়, $n\pi = (2k+1)\pi = 2k\pi + \pi$ . সুতরাং, $sin\left(n\pi+(-1)^{n}15^{^{\circ}}\right) = sin\left(2k\pi + \pi + (-1)15^{^{\circ}}\right) = sin\left(\pi - 15^{^{\circ}}\right)$ . আমরা জানি যে $sin(\pi - \theta) = sin(\theta)$ . তাই, $sin\left(\pi - 15^{^{\circ}}\right) = sin(15^{^{\circ}})$ . এবার আমরা $sin(15^{^{\circ}})$ এর মান নির্ণয় করব। আমরা $15^{^{\circ}} = 45^{^{\circ}} - 30^{^{\circ}}$ লিখতে পারি। সুতরাং, $sin(15^{^{\circ}}) = sin(45^{^{\circ}} - 30^{^{\circ}})$ . সাইন যোগফল/বিয়োগফলের সূত্র ব্যবহার করে: $sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB$ . $sin(45^{^{\circ}} - 30^{^{\circ}}) = sin45^{^{\circ}}cos30^{^{\circ}} - cos45^{^{\circ}}sin30^{^{\circ}}$ $= \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$ $= \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{2\sqrt{2}}$ $= \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$ . অতএব, $sin\left(n\pi+(-1)^{n}15^{^{\circ}}\right) = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$ .