$\frac{d}{dx}\left(e^{x^2}lnx\right)$ এর মান কোনটি?

প্রদত্ত অপেক্ষকটি হলো $e^{x^2} \ln x$ । এটি দুটি অপেক্ষকের গুণফল, তাই এর অন্তরক নির্ণয় করার জন্য আমাদের গুণন বিধি (Product Rule) ব্যবহার করতে হবে। গুণন বিধি অনুযায়ী, যদি $y=uv$ হয়, তাহলে $y$ এর অন্তরক হবে $\frac{dy}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$ । এখানে, আমরা $u = e^{x^2}$ এবং $v = \ln x$ ধরতে পারি। প্রথমত, $u = e^{x^2}$ এর অন্তরক $\frac{du}{dx}$ নির্ণয় করতে হবে। এক্ষেত্রে শৃঙ্খল নিয়ম (Chain Rule) ব্যবহার করা হয়। $e^{x^2}$ এর অন্তরক হলো $e^{x^2}$ গুণিতক $x^2$ এর অন্তরক। $\frac{d}{dx}(e^{x^2}) = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}$ । দ্বিতীয়ত, $v = \ln x$ এর অন্তরক $\frac{dv}{dx}$ নির্ণয় করতে হবে। $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$ । এখন, গুণন বিধি প্রয়োগ করে আমরা পাই: $\frac{d}{dx}(e^{x^2} \ln x) = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) + \ln x \cdot \frac{d}{dx}(e^{x^2})$ $= e^{x^2} \cdot \frac{1}{x} + \ln x \cdot (2xe^{x^2})$ $= \frac{e^{x^2}}{x} + 2xe^{x^2} \ln x$ এই সমীকরণটিকে $e^{x^2}$ কমন নিয়ে এভাবেও লেখা যেতে পারে: $e^{x^2} \left( \frac{1}{x} + 2x \ln x \right)$ ।