$\frac{\pi}{2}<a<\pi$ এবং $\sin a = \frac{2}{3}$ হলে i. $\cos a = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ii. $\cot^2 a = \frac{5}{4}$ iii. $\sec a \tan a = \frac{6}{5}$ নিচের কোনটি সঠিক?

যেহেতু $\frac{\pi}{2}<a<\pi$ , তাই $a$ দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত। এই চতুর্ভাগে $\sin a$ ধনাত্মক এবং $\cos a$ , $\tan a$ , $\cot a$ , $\sec a$ , $\csc a$ ঋণাত্মক। প্রদত্ত আছে $\sin a = \frac{2}{3}$ । i. আমরা জানি $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$ । সুতরাং, $\cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ । যেহেতু $a$ দ্বিতীয় চতুর্ভাগে, $\cos a$ ঋণাত্মক হবে। তাই $\cos a = -\sqrt{\frac{5}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ । এই কারণে, i নম্বর বিবৃতিটি ভুল। ii. আমরা জানি $\cot a = \frac{\cos a}{\sin a}$ । $\cot a = \frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ । সুতরাং, $\cot^2 a = (-\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{5}{4}$ । এই কারণে, ii নম্বর বিবৃতিটি সঠিক। iii. আমরা জানি $\sec a = \frac{1}{\cos a}$ এবং $\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}$ । $\sec a = \frac{1}{-\frac{\sqrt{5}}{3}} = -\frac{3}{\sqrt{5}}$ । $\tan a = \frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}} = -\frac{2}{\sqrt{5}}$ । সুতরাং, $\sec a \tan a = (-\frac{3}{\sqrt{5}}) \times (-\frac{2}{\sqrt{5}}) = \frac{6}{5}$ । এই কারণে, iii নম্বর বিবৃতিটি সঠিক। সুতরাং, ii এবং iii বিবৃতি দুটি সঠিক। সঠিক বিকল্প হলো 3।