$\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx=$ কত ?

$\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx$ এই সমাকলটি একটি অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্দেশ করে যার ব্যাসার্ধ $a$ । প্রকৃতপক্ষে, $y = \sqrt{a^2 - x^2}$ সমীকরণটি $x^2 + y^2 = a^2$ এবং $y \ge 0$ এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ, যা $x$ -অক্ষের উপরের অর্ধবৃত্তের সমীকরণ। যেহেতু সমাকলনের সীমা $x=0$ থেকে $x=a$ পর্যন্ত, এটি প্রথম চতুর্ভাগে থাকা অর্ধবৃত্তের এক-চতুর্থাংশ ক্ষেত্র নির্দেশ করে। একটি সম্পূর্ণ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হলো $\pi r^2$ । সুতরাং, ব্যাসার্ধ $a$ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল হলো $\pi a^2$ । এই ক্ষেত্রে, আমরা প্রথম চতুর্ভাগে থাকা বৃত্তের এক-চতুর্থাংশ ক্ষেত্রফল বের করছি, যা হবে $\frac{1}{4} \pi a^2$ । তাই, $\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx = \frac{a^{2}\pi}{4}$ ।