$\int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=$ কত ?

এই ইন্টিগ্রালটি সমাধানের জন্য আমরা একটি ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপন ব্যবহার করতে পারি। ধরি $x = a \sec \theta$ . তাহলে $dx = a \sec \theta \tan \theta d\theta$ . ইন্টিগ্রালটি দাঁড়ায় $\int\frac{a \sec \theta \tan \theta d\theta}{\sqrt{(a \sec \theta)^{2}-a^{2}}} = \int\frac{a \sec \theta \tan \theta d\theta}{\sqrt{a^{2}(\sec^{2} \theta-1)}} = \int\frac{a \sec \theta \tan \theta d\theta}{a \sqrt{\tan^{2} \theta}} = \int\frac{\sec \theta \tan \theta d\theta}{\tan \theta} = \int \sec \theta d\theta$ . আমরা জানি যে $\int \sec \theta d\theta = \ln|\sec \theta + \tan \theta| + c$ . এখন, প্রতিস্থাপনটি বিপরীত দিকে ব্যবহার করে পাই: $x = a \sec \theta \implies \sec \theta = \frac{x}{a}$ . এবং $\tan \theta = \sqrt{\sec^{2} \theta - 1} = \sqrt{\left(\frac{x}{a}\right)^{2} - 1} = \sqrt{\frac{x^{2}-a^{2}}{a^{2}}} = \frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}$ . সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি দাঁড়ায় $\ln\left|\frac{x}{a} + \frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}\right| + c = \ln\left|\frac{x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}\right| + c = \ln|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}| - \ln|a| + c$ . যেহেতু $\ln|a|$ একটি ধ্রুবক, আমরা এটিকে $c$ -এর সাথে যুক্ত করতে পারি। তাই, ফলাফলটি হলো $\ln\left(x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right)+c$ . সুতরাং, সঠিক বিকল্প হলো '3'।