পরীক্ষাঙ্গনসূত্র: Higher Math 2nd Paper দ্বিপদী বিস্তৃতিHigher Math 2nd Paperদ্বিপদী বিস্তৃতিভর্তি পরীক্ষাSUST-B '19-20
সমাধানসহ বহুনির্বাচনী প্রশ্ন
$\left(2 x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2 \sqrt{2}\right)^{12}$ এর বিস্তৃতিতে ধ্রুবক পদটি কত?
✓সঠিক উত্তর: খ. ${ }^{24} C_{12} 2^{6}$Higher Math 2nd Paper · দ্বিপদী বিস্তৃতি
অপশন
- ক${ }^{24} C_{12} 2^{12}$✓ সঠিক উত্তর
- খ${ }^{24} C_{12} 2^{6}$✓ সঠিক উত্তর
- গ${ }^{12} C_{6} 2^{6}$✓ সঠিক উত্তর
- ঘ$1$✓ সঠিক উত্তর
✓
সঠিক উত্তর: খ. ${ }^{24} C_{12} 2^{6}$
ব্যাখ্যা
$\begin{array}{l}\text { Solve: }\left(2 x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2 \sqrt{2}\right)^{12} \\=\left\{(\sqrt{2} x)^{2}-2 \sqrt{2} x \frac{1}{x}+\left(\frac{1}{x}\right)^{2}\right\}^{12} \\=\left\{\left(\sqrt{2} x-\frac{1}{x}\right)^{2}\right\}^{12}\end{array}$
$=\left(\sqrt{2} \mathrm{x}-\frac{1}{\mathrm{x}}\right)^{24}$ এর বিস্তৃতিতে (r + 1) তম পদে ধ্রুবক পদটি থাকলে,
$\\\begin{array}{l}T_{r+1}={ }^{24} C_{r}(\sqrt{2} x)^{24-r}\left(\frac{-1}{x}\right)^{r} \\\\={ }^{24} C_{r}(\sqrt{2})^{24-r} \cdot(-1)^{r} x^{24-r-r}\end{array}$
যেহেতু পদটিতে $x^{0}$ বিদ্যমান ( x বর্জিত),
$\begin{array}{l}\therefore \mathrm{x}^{24-2 \mathrm{r}}=\mathrm{x}^{0} \\\Rightarrow 24-2 \mathrm{r}=0 \\\Rightarrow \mathrm{r}=12 \\\therefore \mathrm{T}_{12+1}={ }^{24} \mathrm{C}_{12}(\sqrt{2})^{24-12}={ }^{24} \mathrm{C}_{12} 2^{6}\\\text{Ans. (B)}\end{array}$
Explanation:
কোনো দ্বিপদী রাশির বিস্তৃতিতে $x^{\text {something }}$ এর সহগ নির্ণয় বা x বর্জিত পদ নির্ণয়, সব ধরনের অংক উপরোক্ত নিয়মে করা যায়। x বর্জিত মানে হচ্ছে পদে কোনো x থাকবে না। যখন x এর ঘাত () হবে, শুধুমাত্র তখনই ঐ পদটি x বিহীন হবে।
আর মনে রাখবে, $(a+x)^{n}$ এর বিস্তৃতি $=a^{n}+n_{c_{1}} a^{n-1} x^{1}+n_{c_{2}} a^{n-2} x^{2}$ $+\ldots \ldots+x^{n}$
এবং $(a+x)^{n}$ এর বিস্তৃতিতে (r+1) তম পদ, $\mathrm{T}_{\mathrm{r}+1}=\mathrm{n}_{\mathrm{c}_{\mathrm{r}}} \mathrm{a}^{\mathrm{n}-\mathrm{r}} \mathrm{x}^{\mathrm{r}}$ এবার তোমাদের জন্য একটি প্রশ্ন: দ্বিপদীর বিস্তৃতিতে কোনো পদ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে আমরা কেনো (r +1) তম পদ নিয়ে কাজ করি, r তম পদ নিয়ে কাজ করি না কেনো? করলে কোনো সমস্যা হতো কি না? একটু মাথা খাটাও, আশা করি নিজেই প্রশ্নটির উত্তর দিতে পারবে।
$\ \\$
Shortcut:
$\left(a x^{m} \pm \frac{b}{c x^{n}}\right)^{d}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{p}$ এর সহ (r+1) তম পদে বিদ্যমান হলে, $r=\frac{(m \times d)-p}{m+n}$
এবং $x^{p}$ এর সহগ = $\mathrm{n}_{\mathrm{C}_{\mathrm{r}}} \mathrm{a}^{\mathrm{d}-\mathrm{r}}\left( \pm \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}\right)^{\mathrm{T}} ;$
এ প্রশ্নে $\left(\sqrt{2} x-\frac{1}{x}\right)^{24}$ এর বিস্তৃতিতে (r + 1) তম পদে $x^{0}$ বিদ্যমান ।
$\therefore \mathrm{r}=\frac{1 \times 24-0}{1+1}=12$
এরপর r এর মান থেকে $\mathrm{T}_{12+1}$ তম পদ বের করা সম্ভব।
ধ্রুবক পদ, $T_{r+1}={ }^{24} C_{12}(\sqrt{2})^{24-12}(-1)^{12}={ }^{24} C_{12} 2^{6}$