$u$ বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত একটি বস্তু $h$ উচ্চতায় আসার দুটি সময়ের পার্থক্য কত?

ধরি, কণাটি $u$ বেগে উল্লম্বভাবে উপরে নিক্ষেপ করলে তা $t$ সময়ে $h$ উচ্চতায় উঠে। $\begin{array}{l}\therefore \mathrm{h}=\mathrm{ut}-\frac{1}{2} \mathrm{gt}^{2} \\\Rightarrow \frac{1}{2} \mathrm{gt}^{2}=\mathrm{ut}-\mathrm{h} \\\Rightarrow \mathrm{gt}^{2}=2 \mathrm{ut}-2 \mathrm{~h}\end{array}$ $\Rightarrow \mathrm{gt}^{2}-2 \mathrm{ut}+2 \mathrm{~h}=0 \text {, }$ , যা $t$ চলকের একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। $\therefore \mathrm{t}=\frac{2 \mathrm{u} \pm \sqrt{4 \mathrm{u}^{2}-4 \cdot g \cdot 2 h}}{2 \mathrm{~g}}=\frac{1}{g}\left(\mathrm{u} \pm \sqrt{\mathrm{u}^{2}-2 \mathrm{gh}}\right)$ যেহেতু $\mathrm{u}^{2}>2 \mathrm{gh}$ অর্থাৎ $u^{2}-2 g h>0$ সুতরাং $t$ এর মান দুইটি বাস্তব ও অসমান। ধরি, $t$ এর মান দুইটি $\mathrm{t}_{1}, \mathrm{t}_{2}\left(\mathrm{t}_{1}>\mathrm{t}_{2}\right)$ $\therefore \mathrm{t}_{1}=\frac{1}{\mathrm{~g}}\left(\mathrm{u}+\sqrt{\mathrm{u}^{2}-2 \mathrm{gh}}\right)$ এবং $t_{2}=\frac{1}{g}\left(u-\sqrt{u^{2}-2 g h}\right)$ $t$ এর ক্ষুদ্রতম মান $h$ উচ্চতায় উত্থানকাল এবং বৃহত্তর মান পতনকাল নির্দেশ করে । $\therefore h$ উচ্চতায় থাকার সময়ের ব্যবধান, $t_{1}-t_{2}=\frac{2}{g} \sqrt{u^{2}-2 g h}$