সরল দোলকের সাহায্যে পাহাড়ের উচ্চতা নির্ণয়ের সমীকরণটি হল$-$

সরল দোলকের দোলনকাল $T$ এর সূত্র হলো $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ , যেখানে $L$ হলো দোলকের দৈর্ঘ্য এবং $g$ হলো অভিকর্ষজ ত্বরণ। ধরা যাক, সমুদ্রপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ $g$ এবং পাহাড়ের চূড়ায় অভিকর্ষজ ত্বরণ $g'$ । সমুদ্রপৃষ্ঠে এবং পাহাড়ের চূড়ায় একই সরল দোলকের দোলনকাল যদি একই থাকে, অর্থাৎ $T_{সমুদ্র} = T_{পাহাড়}$ , তবে আমরা লিখতে পারি: $2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}}$ এই সমীকরণ থেকে আমরা পাই $g = g'$ , যা এক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয় কারণ পাহাড়ের উচ্চতার সাথে অভিকর্ষজ ত্বরণ পরিবর্তিত হয়। প্রকৃতপক্ষে, পাহাড়ের উচ্চতা নির্ণয়ের জন্য আমরা দোলকের দোলনকালের পরিবর্তন ব্যবহার করি। ধরা যাক, সমুদ্রপৃষ্ঠে দোলকের দোলনকাল $T$ এবং পাহাড়ের চূড়ায় দোলকের দোলনকাল $T'$ । আমরা জানি, অভিকর্ষজ ত্বরণ উচ্চতার সাথে পরিবর্তিত হয়। পাহাড়ের উচ্চতা $h$ এবং পৃথিবীর ব্যাসার্ধ $R$ হলে, পাহাড়ের চূড়ায় অভিকর্ষজ ত্বরণ $g'$ কে আমরা লিখতে পারি: $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ এখন, যদি সমুদ্রপৃষ্ঠে দোলকের দোলনকাল $T_0$ এবং পাহাড়ের চূড়ায় দোলকের দোলনকাল $T_h$ হয়, তাহলে: $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ $T_h = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}}$ দোলনকালের অনুপাত নিলে আমরা পাই: $\frac{T_h}{T_0} = \sqrt{\frac{g}{g'}}$ বা, $\frac{g}{g'} = \left( \frac{T_h}{T_0} \right)^2$ এবার $g'$ এর মান বসিয়ে পাই: $\frac{g}{g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2} = \left( \frac{T_h}{T_0} \right)^2$ $\left( \frac{R+h}{R} \right)^2 = \left( \frac{T_h}{T_0} \right)^2$ $\frac{R+h}{R} = \frac{T_h}{T_0}$ $1 + \frac{h}{R} = \frac{T_h}{T_0}$ $\frac{h}{R} = \frac{T_h}{T_0} - 1$ $h = R \left( \frac{T_h}{T_0} - 1 \right)$ এই সমীকরণটি ব্যবহার করে পাহাড়ের উচ্চতা নির্ণয় করা যায়। তবে প্রশ্নে সরল দোলকের সাহায্যে পাহাড়ের উচ্চতা নির্ণয়ের সমীকরণ জানতে চাওয়া হয়েছে, যা অভিকর্ষজ ত্বরণের পরিবর্তনের উপর নির্ভরশীল। যদি প্রশ্নে অভিকর্ষজ ত্বরণের পরিবর্তনের সাপেক্ষে উচ্চতা নির্ণয়ের কথা বলা হয়ে থাকে, এবং $g$ সমুদ্রপৃষ্ঠের ত্বরণ এবং $g'$ পাহাড়ের চূড়ার ত্বরণ হয়, তাহলে আমাদের সম্পর্কটি হওয়া উচিত এমনভাবে যা $h$ এবং $g, g'$ এর সাথে সম্পর্কিত। আমরা জানি, $g' = g(1 - \frac{2h}{R})$ (ছোট উচ্চতার জন্য প্রায়)। তাহলে, $\frac{g}{g'} = \frac{g}{g(1 - \frac{2h}{R})} = \frac{1}{1 - \frac{2h}{R}}$ $\frac{g'}{g} = 1 - \frac{2h}{R}$ $\frac{2h}{R} = 1 - \frac{g'}{g}$ $h = \frac{R}{2} \left( 1 - \frac{g'}{g} \right)$ এই সমীকরণটিও সরাসরি বিকল্পগুলিতে নেই। আসুন আমরা বিকল্পগুলির দিকে আবার নজর দিই। বিকল্পগুলিতে $\sqrt{\frac{g}{g'}}$ বা $\sqrt{\frac{g'}{g}}$ আকারে আছে। এটি নির্দেশ করে যে প্রশ্নটি সম্ভবত দোলনকালের বর্গের সাথে সম্পর্কিত। যদি আমরা ধরে নিই যে পাহাড়ের চূড়ায় অভিকর্ষজ ত্বরণ $g'$ এবং সমুদ্রপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ $g$ , এবং $g > g'$ (কারণ পাহাড়ের চূড়ায় অভিকর্ষজ ত্বরণ কম হয়), তাহলে $h$ এর মান ধনাত্মক হতে হবে। বিকল্প 2 হলো $h=\left(\sqrt{\frac{g}{g'}}-1\right)R$ । যদি আমরা $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ ব্যবহার করি, তাহলে $\sqrt{\frac{g}{g'}} = \sqrt{\frac{g}{g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2}} = \sqrt{\frac{(R+h)^2}{R^2}} = \frac{R+h}{R} = 1 + \frac{h}{R}$ অতএব, $\sqrt{\frac{g}{g'}} - 1 = \frac{h}{R}$ এবং $h = R \left( \sqrt{\frac{g}{g'}} - 1 \right)$ এই সমীকরণটি বিকল্প 2 এর সাথে মিলে যায়। এটি প্রমাণ করে যে বিকল্প 2 সঠিক।