$cos^{2}3^{\circ}+cos^{2}6^{\circ}+cos^{2}9^{\circ}+......+cos^{2}87^{\circ}=$ কত ?

এই সমস্যা সমাধানের জন্য আমরা ত্রিকোণমিতির একটি ধর্ম ব্যবহার করব: $cos^{2}\theta + sin^{2}\theta = 1$ এবং $cos\theta = sin(90^{\circ}-\theta)$ । প্রদত্ত সিরিজটি হল: $cos^{2}3^{\circ}+cos^{2}6^{\circ}+cos^{2}9^{\circ}+......+cos^{2}87^{\circ}$ এখানে প্রতিটি পদ $cos^{2}n^{\circ}$ আকারে আছে, যেখানে $n$ হল 3 এর গুণিতক, 3 থেকে 87 পর্যন্ত। পদগুলির সংখ্যা নির্ণয় করি: $87 = 3 + (k-1)3$ => $84 = (k-1)3$ => $28 = k-1$ => $k=29$ . সুতরাং, এখানে 29টি পদ আছে। আমরা পদগুলিকে জোড়ায় ভাগ করতে পারি। শেষ পদটি হল $cos^{2}87^{\circ}$ । আমরা জানি $cos87^{\circ} = sin(90^{\circ}-87^{\circ}) = sin3^{\circ}$ । সুতরাং, $cos^{2}87^{\circ} = sin^{2}3^{\circ}$ । প্রথম পদ এবং শেষ পদ একসাথে নিলে আমরা পাই: $cos^{2}3^{\circ} + cos^{2}87^{\circ} = cos^{2}3^{\circ} + sin^{2}3^{\circ} = 1$ । একইভাবে, দ্বিতীয় পদ $cos^{2}6^{\circ}$ এবং দ্বিতীয় শেষ পদ $cos^{2}84^{\circ}$ নিলে আমরা পাই: $cos^{2}6^{\circ} + cos^{2}84^{\circ} = cos^{2}6^{\circ} + sin^{2}(90^{\circ}-84^{\circ}) = cos^{2}6^{\circ} + sin^{2}6^{\circ} = 1$ । এইভাবে আমরা 14 জোড়া পাব, যাদের প্রতিটির যোগফল 1। মোট পদ 29টি। তাই 14 জোড়া (28টি পদ) এর যোগফল হবে 14। মাঝের পদটি হল $cos^{2}(3^{\circ} \times 15) = cos^{2}45^{\circ}$ । $cos45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ , সুতরাং $cos^{2}45^{\circ} = (\frac{1}{\sqrt{2}})^{2} = \frac{1}{2} = 0.5$ । সুতরাং, সিরিজের মোট যোগফল = 14 জোড়ার যোগফল + মাঝের পদ = $14 \times 1 + 0.5 = 14.5$ ।