$\triangle$ ABC এর AB, BC ও CA বাহুর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (2, 7), (4,-2) ও (3,1) হলে ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কোনটি?

ধরি, ত্রিভুজ ABC এর শীর্ষবিন্দুগুলো হলো $A(x_1, y_1)$ , $B(x_2, y_2)$ এবং $C(x_3, y_3)$ । AB, BC ও CA বাহুর মধ্যবিন্দুগুলো যথাক্রমে $D(2, 7)$ , $E(4, -2)$ এবং $F(3, 1)$ । মধ্যবিন্দুর সূত্র অনুযায়ী: $D = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right) = (2, 7)$ $E = \left(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}\right) = (4, -2)$ $F = \left(\frac{x_3+x_1}{2}, \frac{y_3+y_1}{2}\right) = (3, 1)$ এই সমীকরণগুলো থেকে আমরা পাই: $x_1+x_2 = 4$ (1) $y_1+y_2 = 14$ (2) $x_2+x_3 = 8$ (3) $y_2+y_3 = -4$ (4) $x_3+x_1 = 6$ (5) $y_3+y_1 = 2$ (6) সমীকরণ (1), (3) এবং (5) যোগ করে পাই: $(x_1+x_2) + (x_2+x_3) + (x_3+x_1) = 4 + 8 + 6$ $2(x_1+x_2+x_3) = 18$ $x_1+x_2+x_3 = 9$ (7) একইভাবে, সমীকরণ (2), (4) এবং (6) যোগ করে পাই: $(y_1+y_2) + (y_2+y_3) + (y_3+y_1) = 14 + (-4) + 2$ $2(y_1+y_2+y_3) = 12$ $y_1+y_2+y_3 = 6$ (8) ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো $G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ । সমীকরণ (7) এবং (8) ব্যবহার করে পাই: ভরকেন্দ্রের x-স্থানাঙ্ক = $\frac{9}{3} = 3$ ভরকেন্দ্রের y-স্থানাঙ্ক = $\frac{6}{3} = 2$ সুতরাং, ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো (3, 2)।