Z একটি জটিল সংখ্যা হলে, $\text { i. } \frac{|z|}{|z|}=1$ $\text { ii. } z \cdot \bar{z}=|\bar{z}|^{2}$ $\text { iii. } \arg \left(\frac{z}{z}\right)=\arg (z)+\arg (\bar{z})$ নিচের কোনটি সঠিক?

জটিল সংখ্যা $z$ এবং এর সংযুগ্ম $\overline{z}$ সহ প্রদত্ত বিবৃতিগুলোর সত্যতা যাচাই করা যাক: i. $|z| |z| = 1$ - $|z|$ হলো $z$ -এর মান (magnitude), যা একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা। - $|z| |z| = |z|^2$ , এবং এটি ১ হবে শুধুমাত্র যদি $|z| = 1$ হয় (যেমন, $z = e^{i\theta}$ যেখানে $\theta$ কোনো কোণ)। - সাধারণ ক্ষেত্রে (যেমন $z = 2 + 3i$ , $|z| = \sqrt{13}$ , $|z|^2 = 13 \neq 1$ ), এটি সত্য নয়। - **নিষ্কর্ষ**: এটি সর্বদা সত্য নয়। ii. $z \cdot \overline{z} = |\overline{z}|^2$ - $z = a + bi$ হলে, $\overline{z} = a - bi$ , এবং $z \cdot \overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2 i^2 = a^2 + b^2$ (কারণ $i^2 = -1$ )। - $|z|^2 = a^2 + b^2$ , এবং $|\overline{z}| = \sqrt{a^2 + b^2}$ , তাই $|\overline{z}|^2 = a^2 + b^2$ 。 - সুতরাং, $z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2 = |\overline{z}|^2$ , যা সর্বদা সত্য। - **নিষ্কর্ষ**: এটি সত্য। iii. $\arg(z z) = \arg(z) + \arg(\overline{z})$ - $\arg(z z)$ হলো $z$ এবং $z$ -এর গুণফলের আর্গুমেন্ট, যা $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$ (যদি $\arg$ কোণের মধ্যে 0 থেকে $2\pi$ এর মধ্যে থাকে)। - $\overline{z}$ -এর আর্গুমেন্ট $\arg(\overline{z}) = -\arg(z)$ (কারণ সংযুগ্ম সংখ্যার কোণ বিপরীত দিকে)। - তাই, $\arg(z) + \arg(\overline{z}) = \arg(z) - \arg(z) = 0$ , কিন্তু $\arg(z z) = \arg(|z|^2) = 0$ (কারণ $z z = |z|^2$ একটি বাস্তব ধনাত্মক সংখ্যা)। - তবে, যদি $z = 0$ হয়, তাহলে $\arg$ সংজ্ঞা বিপরীত (অপরিচিত), কিন্তু সাধারণ ক্ষেত্রে $z \neq 0$ -এর জন্য এটি সত্য নয়, কারণ $\arg(|z|^2)$ কোনো কোণের সমষ্টি হিসেবে প্রকাশ করা যায় না। - **নিষ্কর্ষ**: এটি সত্য নয়। ### চূড়ান্ত উত্তর নিচের মধ্যে সঠিক হলো: **ii**।