বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — $\text{i. } \sin ^{-1}(-x)=-\sin ^{-1} x(-1 \leq x \leq 1)$ $\text{ii. } \sin ^{-1}\left(\sin \frac{3 \pi}{4}\right)=\frac{3 \pi}{4}$ $\text{iii. } \sec ^{-1}(-x)=\pi-\sec ^{-1} x(|x| \geq 1)$ নিচের কোনটি সঠিক?

(i) $\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1}(x), \; -1 \leq x \leq 1$ * $\sin^{-1}x$ -এর রেঞ্জ হচ্ছে $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]$ । * $\sin^{-1}(x)$ একটি বিজোড় ফাংশন, অর্থাৎ $\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1}(x)$ । ✅ সঠিক। (ii) $\sin^{-1}\!\left(\sin \tfrac{3\pi}{4}\right) = \tfrac{3\pi}{4}$ * $\sin \tfrac{3\pi}{4} = \tfrac{\sqrt{2}}{2}$ । * $\sin^{-1}\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \tfrac{\pi}{4}$ , কারণ $\sin^{-1}$ এর রেঞ্জ হলো $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]$ , এখানে $\tfrac{3\pi}{4}$ সেই রেঞ্জে নেই। ❌ তাই ফলাফল হবে $\tfrac{\pi}{4}$ , $\tfrac{3\pi}{4}$ নয়। (iii) $\sec^{-1}(-x) = \pi - \sec^{-1}(x), \; |x| \geq 1$ * $\sec^{-1}x$ -এর মূল রেঞ্জ ধরা হয় $[0,\pi] \setminus \{\tfrac{\pi}{2}\}$ । * যদি $x > 1$ , তবে $\sec^{-1}(x) \in [0,\tfrac{\pi}{2})$ । তখন $\sec^{-1}(-x) = \pi - \sec^{-1}(x)$ , কারণ $\sec(\pi - \theta) = -\sec(\theta)$ । * যদি $x < -1$ , তখন একই সূত্র মেনে যায়। ✅ সঠিক।