তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও $3x^{2}+3y^{2}+12x-6y+12=0$ একটি বৃত্তে সমীকরণ। বৃত্তটির স্পর্শক $x + 2y + k = 0$ হলে k এর মান কত

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ হলো $3x^{2}+3y^{2}+12x-6y+12=0$ । সমীকরণটিকে সাধারণ বৃত্তের সমীকরণ $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ আকারে আনতে উভয় পক্ষকে 3 দিয়ে ভাগ করি: $x^{2}+y^{2}+4x-2y+4=0$ এই সমীকরণ থেকে আমরা বৃত্তের কেন্দ্র ( $-g$ , $-f$ ) এবং ব্যাসার্ধ $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ নির্ণয় করতে পারি। এখানে $2g = 4 \implies g = 2$ $2f = -2 \implies f = -1$ $c = 4$ সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র হলো $(-2, 1)$ । বৃত্তটির ব্যাসার্ধ $r = \sqrt{2^2+(-1)^2-4} = \sqrt{4+1-4} = \sqrt{1} = 1$ । প্রদত্ত স্পর্শকের সমীকরণ হলো $x + 2y + k = 0$ । একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান হয়। বৃত্তের কেন্দ্র $(-2, 1)$ থেকে $x + 2y + k = 0$ সরলরেখার লম্ব দূরত্ব হবে: $d = \frac{|(-2) + 2(1) + k|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|-2 + 2 + k|}{\sqrt{1+4}} = \frac{|k|}{\sqrt{5}}$ যেহেতু এই দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান, অর্থাৎ $d=r=1$ , তাই $\frac{|k|}{\sqrt{5}} = 1$ $|k| = \sqrt{5}$ সুতরাং, $k = \sqrt{5}$ অথবা $k = -\sqrt{5}$ । প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে $+\sqrt{5}$ আছে, যা বিকল্প 4।