$2x^{2}+2y^{2}-5x^{2}+7y-6=0$ বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক -

প্রথমে প্রদত্ত সমীকরণটিকে বৃত্তের আদর্শ সমীকরণ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ আকারে সাজিয়ে নিতে হবে। প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: $2x^2+2y^2-5x^2+7y-6=0$ একটু সরল করলে পাই: $-3x^2+2y^2+7y-6=0$ তবে, বৃত্তের আদর্শ সমীকরণে $x^2$ এবং $y^2$ এর সহগ 1 হতে হয়। প্রদত্ত সমীকরণে $x^2$ এবং $y^2$ এর সহগ ভিন্ন (এখানে $x^2$ এর সহগ -3 এবং $y^2$ এর সহগ 2), যা বৃত্তের সমীকরণ নয়। সম্ভবত প্রশ্নটিতে একটি টাইপিং ভুল আছে এবং সমীকরণটি $2x^2+2y^2-5x+7y-6=0$ হওয়ার কথা ছিল। যদি এটি সঠিক সমীকরণ হয়, তবে আমরা উভয় পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই: $x^2+y^2-\frac{5}{2}x+\frac{7}{2}y-3=0$ এই সমীকরণটিকে বৃত্তের আদর্শ সমীকরণ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ এর সাথে তুলনা করলে পাই: $2g = -\frac{5}{2} \implies g = -\frac{5}{4}$ $2f = \frac{7}{2} \implies f = \frac{7}{4}$ বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(-g, -f)$ হয়। সুতরাং, কেন্দ্র হবে $(-(-\frac{5}{4}), -(\frac{7}{4})) = (\frac{5}{4}, -\frac{7}{4})$ । আবার, যদি প্রশ্নটি $2x^2+2y^2+5x+7y-6=0$ হওয়ার কথা থাকে, তবে 2 দিয়ে ভাগ করলে হবে: $x^2+y^2+\frac{5}{2}x+\frac{7}{2}y-3=0$ এই ক্ষেত্রে, $2g = \frac{5}{2} \implies g = \frac{5}{4}$ এবং $2f = \frac{7}{2} \implies f = \frac{7}{4}$ কেন্দ্র হবে $(-g, -f) = (-\frac{5}{4}, -\frac{7}{4})$ । যদি প্রশ্নটি $2x^2+2y^2-5x-7y-6=0$ হওয়ার কথা থাকে, তবে 2 দিয়ে ভাগ করলে হবে: $x^2+y^2-\frac{5}{2}x-\frac{7}{2}y-3=0$ এই ক্ষেত্রে, $2g = -\frac{5}{2} \implies g = -\frac{5}{4}$ এবং $2f = -\frac{7}{2} \implies f = -\frac{7}{4}$ কেন্দ্র হবে $(-g, -f) = (\frac{5}{4}, \frac{7}{4})$ । প্রদত্ত অপশনগুলির সাথে মেলানোর জন্য, যদি সমীকরণটি $2x^2+2y^2-5x-7y-6=0$ হতো, তাহলে কেন্দ্র $(\frac{5}{4}, \frac{7}{4})$ হত, যা অপশন 4। তবে, প্রশ্নটিতে $2x^{2}+2y^{2}-5x^{2}+7y-6=0$ লেখা আছে, যা সরল করলে $-3x^2+2y^2+7y-6=0$ হয়। এটি কোনো বৃত্তের সমীকরণ নয়। যদি প্রশ্নটি $2x^2+2y^2-5x+7y-6=0$ হয়ে থাকে, তবে কেন্দ্র $(\frac{5}{4}, -\frac{7}{4})$ হবে, যা অপশন 3। সাধারণত এই ধরণের প্রশ্নে $x^2$ ও $y^2$ এর সহগ একই থাকে। ধরে নিচ্ছি প্রশ্নে $2x^2+2y^2-5x+7y-6=0$ বোঝানো হয়েছে। সমীকরণটিকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই: $x^2+y^2-\frac{5}{2}x+\frac{7}{2}y-3=0$ কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(\frac{-(-\frac{5}{2})}{2}, \frac{-(\frac{7}{2})}{2}) = (\frac{5}{4}, -\frac{7}{4})$ এই কারণে অপশন 3 সঠিক।