$\int_{0}^{1}\frac{1}{1+2x}dx$ এর মান কত?

$\int_{0}^{1}\frac{1}{1+2x}dx$ এর মান নির্ণয় করতে, আমরা প্রথমে অনির্দিষ্ট সমাকলন $\int\frac{1}{1+2x}dx$ বের করব। ধরি, $u = 1+2x$ . তাহলে, $du = 2dx$ , অর্থাৎ $dx = \frac{1}{2}du$ . সুতরাং, $\int\frac{1}{1+2x}dx = \int\frac{1}{u}\frac{1}{2}du = \frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du = \frac{1}{2}ln|u| + C$ . $u$ এর মান প্রতিস্থাপন করে পাই, $\frac{1}{2}ln|1+2x| + C$ . এখন, আমরা নির্দিষ্ট সমাকলন করব: $\int_{0}^{1}\frac{1}{1+2x}dx = [\frac{1}{2}ln|1+2x|]_{0}^{1}$ $= \frac{1}{2}ln|1+2(1)| - \frac{1}{2}ln|1+2(0)|$ $= \frac{1}{2}ln|1+2| - \frac{1}{2}ln|1+0|$ $= \frac{1}{2}ln3 - \frac{1}{2}ln1$ যেহেতু $ln1 = 0$ , তাই $= \frac{1}{2}ln3 - 0$ $= \frac{1}{2}ln3$ . সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো $\frac{1}{2}ln3$ , যা বিকল্প 2।