$\int_{2}^{8}|y-5|dy$ এর মান কত?

এখানে আমাদের $\int_{2}^{8}|y-5|dy$ এর মান নির্ণয় করতে হবে। যেহেতু $y$ -এর মান 2 থেকে 8 পর্যন্ত পরিবর্তিত হচ্ছে, তাই $y-5$ এর মান ঋণাত্মক, শূন্য বা ধনাত্মক হতে পারে। যখন $y<5$ , তখন $|y-5| = -(y-5) = 5-y$ . যখন $y \ge 5$ , তখন $|y-5| = y-5$ . সুতরাং, আমরা ইন্টিগ্রালটিকে দুটি অংশে ভাগ করতে পারি: $\int_{2}^{8}|y-5|dy = \int_{2}^{5}(5-y)dy + \int_{5}^{8}(y-5)dy$ প্রথম অংশের ইন্টিগ্রাল: $\int_{2}^{5}(5-y)dy = [5y - \frac{y^2}{2}]_{2}^{5} = (5(5) - \frac{5^2}{2}) - (5(2) - \frac{2^2}{2}) = (25 - \frac{25}{2}) - (10 - 2) = \frac{25}{2} - 8 = \frac{25-16}{2} = \frac{9}{2}$ দ্বিতীয় অংশের ইন্টিগ্রাল: $\int_{5}^{8}(y-5)dy = [\frac{y^2}{2} - 5y]_{5}^{8} = (\frac{8^2}{2} - 5(8)) - (\frac{5^2}{2} - 5(5)) = (\frac{64}{2} - 40) - (\frac{25}{2} - 25) = (32 - 40) - (\frac{25-50}{2}) = -8 - (-\frac{25}{2}) = -8 + \frac{25}{2} = \frac{-16+25}{2} = \frac{9}{2}$ এখন দুটি অংশের যোগফল: $\frac{9}{2} + \frac{9}{2} = \frac{18}{2} = 9$ সুতরাং, $\int_{2}^{8}|y-5|dy$ এর মান 9।