$\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1+\cos x}\,dx$ এর মান কত

$\int_{0}^{\pi2}\sqrt{1+cosxdx}$ এর মান বের করতে হবে। আমরা জানি, $1 + \cos(x) = 2\cos^2(x/2)$ । সুতরাং, $\sqrt{1+\cos x} = \sqrt{2\cos^2(x/2)} = \sqrt{2}|\cos(x/2)|$ । যেহেতু ইন্টিগ্রেশনের সীমা 0 থেকে $\pi/2$ পর্যন্ত, তাই $x/2$ -এর মান 0 থেকে $\pi/4$ পর্যন্ত হবে। এই সীমার মধ্যে $\cos(x/2)$ ধনাত্মক। অতএব, $\sqrt{1+\cos x} = \sqrt{2}\cos(x/2)$ । এবার ইন্টিগ্রেশনটি সমাধান করা যাক: $\int_{0}^{\pi2}\sqrt{1+cosxdx} = \int_{0}^{\pi2}\sqrt{2}\cos(x/2)dx$ $= \sqrt{2} \int_{0}^{\pi2}\cos(x/2)dx$ $= \sqrt{2} [\frac{\sin(x/2)}{1/2}]_{0}^{\pi2}$ $= \sqrt{2} [2\sin(x/2)]_{0}^{\pi2}$ $= 2\sqrt{2} [\sin(\frac{\pi/2}{2}) - \sin(\frac{0}{2})]$ $= 2\sqrt{2} [\sin(\pi/4) - \sin(0)]$ $= 2\sqrt{2} [\frac{1}{\sqrt{2}} - 0]$ $= 2\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}}$ $= 2$ সুতরাং, $\int_{0}^{\pi2}\sqrt{1+cosxdx}$ এর মান হলো 2।