$\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{2x-x^{2}}$ এর মান কত?

এই সমস্যাটি একটি সীমা (limit) সংক্রান্ত প্রশ্ন। আমরা $\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{2x-x^{2}}$ এর মান নির্ণয় করব। --- ### **১. সীমা (Limit) কী?** সীমা হলো ক্যালকুলাসের একটি মৌলিক ধারণা। যখন আমরা বলি $\lim_{x\to c} f(x) = L$ , এর মানে হলো, যখন $x$ এর মান $c$ এর খুব কাছাকাছি আসে (কিন্তু $c$ এর সমান নাও হতে পারে), তখন $f(x)$ এর মান $L$ এর খুব কাছাকাছি আসে। এখানে $c$ একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা এবং $L$ হলো সীমাটির মান। --- ### **২. প্রথমেই যা দেখতে হবে: প্রত্যক্ষ প্রতিস্থাপন (Direct Substitution)** যেকোনো সীমার সমস্যা সমাধানের প্রথম ধাপ হলো $x$ এর মান সরাসরি ফাংশনে বসিয়ে দেখা। আমাদের ফাংশনটি হলো $f(x) = \frac{\sin(2x)}{2x-x^{2}}$ এবং আমরা $x \to 0$ এর জন্য সীমা নির্ণয় করছি। * **লব (Numerator):** $x=0$ বসালে, $\sin(2 \times 0) = \sin(0) = 0$ . * **হর (Denominator):** $x=0$ বসালে, $2(0) - (0)^2 = 0 - 0 = 0$ . সুতরাং, আমরা $\frac{0}{0}$ আকার পাই। --- ### **৩. অনির্ণেয় আকার ( $\frac{0}{0}$ Indeterminate Form)** যখন সরাসরি মান বসিয়ে $\frac{0}{0}$ (বা $\frac{\infty}{\infty}$ ) আকার আসে, তখন আমরা এটিকে **"অনির্ণেয় আকার" (Indeterminate Form)** বলি। এর মানে এই নয় যে সীমাটির কোনো মান নেই, বরং এর মান নির্ণয় করতে আমাদেরকে কিছু গাণিতিক কৌশল (algebraic manipulation), যেমন উৎপাদকে বিশ্লেষণ (factorization) বা বিশেষ সূত্র প্রয়োগ করতে হবে। --- ### **৪. গুরুত্বপূর্ণ সীমা সূত্র (Important Limit Formula)** এই ধরনের সমস্যার জন্য একটি খুব গুরুত্বপূর্ণ ত্রিকোণমিতিক সীমা সূত্র হলো: $\lim_{\theta\to0}\frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ **এই সূত্রের ধারণা:** যখন $\theta$ খুব ছোট হয় (শূন্যের কাছাকাছি), তখন $\sin \theta$ এবং $\theta$ এর মান প্রায় সমান হয়। তাই তাদের অনুপাত $1$ এর কাছাকাছি হয়। **গুরুত্বপূর্ণ বিষয়:** এখানে লক্ষ্য রাখতে হবে যে $\sin$ এর ভেতরের অংশ ( $\theta$ ) এবং হরের অংশ ( $\theta$ ) **একই হতে হবে** এবং উভয়কেই শূন্যের দিকে ধাবিত হতে হবে। --- ### **৫. সমস্যাটির সমাধান (Solving the Problem)** আমাদের সমস্যাটি হলো: $\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{2x-x^{2}}$ **ধাপ ১: হরকে সরল করা (Simplifying the denominator)** হর হলো $2x-x^2$ । আমরা এখান থেকে $x$ কমন নিতে পারি: $2x-x^2 = x(2-x)$ এখন সীমাটি দাঁড়ায়: $\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{x(2-x)}$ **ধাপ ২: গুরুত্বপূর্ণ সূত্রটি প্রয়োগের জন্য সাজানো (Arranging for the important formula)** আমাদের লবে আছে $\sin(2x)$ । গুরুত্বপূর্ণ সূত্রটি প্রয়োগের জন্য, আমাদের হরে $2x$ প্রয়োজন। আমাদের বর্তমানে হরে শুধু $x$ আছে। তাই, আমরা লব ও হরকে $2$ দ্বারা গুণ করব এবং ফাংশনটিকে এমনভাবে সাজিয়ে লিখব যাতে $\frac{\sin(2x)}{2x}$ অংশটি আলাদা করা যায়: $\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{x(2-x)} = \lim_{x\to0}\left(\frac{\sin(2x)}{2x} \cdot \frac{2}{2-x}\right)$ এখানে আমরা $\frac{2}{2}$ দ্বারা গুণ করেছি, যা ফাংশনের মান পরিবর্তন করে না। আমরা $\sin(2x)$ এর নিচে একটি $2x$ তৈরি করেছি এবং অতিরিক্ত $2$ কে অন্য অংশের লবে নিয়ে গেছি। **ধাপ ৩: সীমার গুণফল সূত্র প্রয়োগ (Applying Limit Product Rule)** সীমার একটি ধর্ম (property) আছে যে, যদি $\lim_{x\to c} f(x)$ এবং $\lim_{x\to c} g(x)$ উভয়ই বিদ্যমান থাকে, তাহলে তাদের গুণফলের সীমা হলো সীমার গুণফল: $\lim_{x\to c} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x\to c} f(x) \cdot \lim_{x\to c} g(x)$ এই ধর্ম ব্যবহার করে আমরা আমাদের সীমাটিকে দুটি অংশে ভাগ করতে পারি: $\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin(2x)}{2x} \cdot \frac{2}{2-x}\right) = \left(\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{2x}\right) \cdot \left(\lim_{x\to0}\frac{2}{2-x}\right)$ **ধাপ ৪: প্রতিটি সীমার মান নির্ণয় (Evaluating each limit)** * **প্রথম অংশ:** $\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{2x}$ * এখানে যদি আমরা $2x = \theta$ ধরি, তাহলে যখন $x \to 0$ , তখন $2x \to 0$ অর্থাৎ $\theta \to 0$ . * তাহলে, এই অংশটি আমাদের গুরুত্বপূর্ণ সীমা সূত্র $\lim_{\theta\to0}\frac{\sin \theta}{\theta}$ আকারের মতো, যার মান হলো $1$ . * সুতরাং, $\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{2x} = 1$ . * **দ্বিতীয় অংশ:** $\lim_{x\to0}\frac{2}{2-x}$ * এই অংশে আমরা সরাসরি $x=0$ বসাতে পারি, কারণ $x=0$ বসালে হর $(2-0=2)$ শূন্য হচ্ছে না। * $\frac{2}{2-0} = \frac{2}{2} = 1$ . **ধাপ ৫: ফলাফল একত্রিত করা (Combining the results)** এখন আমরা দুটি অংশের প্রাপ্ত মান গুণ করব: $1 \times 1 = 1$ --- ### **৬. উপসংহার (Conclusion)** সুতরাং, $\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{2x-x^{2}}$ এর মান হলো $1$ ।