$x^{2}+y^{2}=25$ বৃত্তের একটি অভিলম্বের সমীকরণ $4x-3y=0$ হলে i. একটি ছেদবিন্দু (4, 4) ii. স্পর্শকের সমীকরণ 3x + 4y = 25 iii. অভিলম্বের সমান্তরাল স্পর্শকের সমীকরণ $4x-3y=25$ নিচের কোনটি সঠিক?

প্রথমে, $x^2+y^2=25$ বৃত্তের কেন্দ্র হল (0, 0) এবং ব্যাসার্ধ হল 5। একটি অভিলম্বের সমীকরণ $4x-3y=0$ হলে, অভিলম্বটি মূলবিন্দুগামী। বৃত্তের যেকোনো অভিলম্ব তার কেন্দ্রগামী হয়। i. ছেদবিন্দু (4, 4) কি এই বৃত্তের উপর অবস্থিত? $4^2+4^2 = 16+16=32 \neq 25$ । সুতরাং, (4, 4) বিন্দুটি বৃত্তের উপর অবস্থিত নয়। তাই i ভুল। ii. অভিলম্ব $4x-3y=0$ এর নতিমাত্রা হল $4/3$ । বৃত্তের উপর কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের নতিমাত্রা অভিলম্বের নতিমাত্রার ঋণাত্মক বিপরীত। অর্থাৎ, স্পর্শকের নতিমাত্রা হবে $-3/4$ । যদি স্পর্শকের সমীকরণ $3x+4y=25$ হয়, তবে এর নতিমাত্রা হল $-3/4$ । স্পর্শবিন্দু নির্ণয় করি। বৃত্তের কেন্দ্র (0, 0) থেকে $3x+4y-25=0$ সরলরেখার লম্ব দূরত্ব হল $|3(0)+4(0)-25|/\sqrt{3^2+4^2} = 25/5 = 5$ , যা বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান। সুতরাং, $3x+4y=25$ স্পর্শকের সমীকরণ। তাই ii সঠিক। iii. অভিলম্বের সমান্তরাল স্পর্শকের সমীকরণ হবে $4x-3y=k$ আকারের। যেহেতু $3x+4y=25$ স্পর্শকের সমীকরণ, তাই অভিলম্ব $4x-3y=0$ এর সমান্তরাল কোনো স্পর্শকের সমীকরণ $4x-3y=k$ হবে। যেহেতু $3x+4y=25$ স্পর্শকের সমীকরণ, তাই এটি অভিলম্ব $4x-3y=0$ এর উপর লম্ব। iii-তে বলা হয়েছে অভিলম্বের সমান্তরাল স্পর্শকের সমীকরণ $4x-3y=25$ । স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের নতিমাত্রা হল $-3/4$ । অভিলম্বের সমান্তরাল রেখার নতিমাত্রা $4/3$ । অতএব, অভিলম্বের সমান্তরাল স্পর্শকের সমীকরণ $4x-3y=k$ হবে। কিন্তু, ii-তে আমরা পেয়েছি $3x+4y=25$ স্পর্শকের সমীকরণ। এই স্পর্শকটি অভিলম্ব $4x-3y=0$ এর উপর লম্ব। iii-তে দেওয়া সমীকরণ $4x-3y=25$ অভিলম্বের সমান্তরাল। এই সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখার মূলবিন্দু থেকে লম্ব দূরত্ব হল $|4(0)-3(0)-25|/\sqrt{4^2+(-3)^2} = 25/5 = 5$ , যা বৃত্তের ব্যাসার্ধ। সুতরাং, $4x-3y=25$ হল অভিলম্বের সমান্তরাল একটি স্পর্শকের সমীকরণ। অর্থাৎ, iii সঠিক। সুতরাং, ii এবং iii সঠিক। The final answer is $\boxed{2}$ .