$x^{2}+y^{2}-6x+10y+5=0$ বৃত্ত কর্তৃক x-অক্ষের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য-

এখানে প্রদত্ত সমস্যাটি হলো একটি বৃত্তের সমীকরণ থেকে x-অক্ষের উপর বৃত্ত কর্তৃক সৃষ্ট খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা। **x-অক্ষের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয়** প্রদত্ত প্রশ্নে একটি বৃত্তের সমীকরণ দেওয়া হয়েছে: $x^{2}+y^{2}-6x+10y+5=0$ এবং এই বৃত্তটি x-অক্ষকে যে অংশে ছেদ করে, সেই খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে বলা হয়েছে। **১. বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ (General Equation of a Circle):** একটি বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো: $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ এখানে, * বৃত্তটির কেন্দ্র (center) হলো $(-g, -f)$ । * বৃত্তটির ব্যাসার্ধ (radius), $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ । **২. x-অক্ষের খণ্ডিতাংশের ধারণা (Concept of x-intercept):** যখন একটি বৃত্ত x-অক্ষকে ছেদ করে, তখন ছেদবিন্দুগুলিতে y-স্থানাঙ্ক (y-coordinate) শূন্য হয়। অর্থাৎ, $y=0$ । যদি বৃত্তটি x-অক্ষকে দুটি ভিন্ন বিন্দুতে ছেদ করে, তবে সেই দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্বই হলো x-অক্ষের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য। **৩. x-অক্ষের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্যের সূত্র (Formula for the length of x-intercept):** বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ -তে $y=0$ বসিয়ে পাই: $x^2 + (0)^2 + 2gx + 2f(0) + c = 0$ $x^2 + 2gx + c = 0$ এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ (quadratic equation), যার দুটি সমাধান (roots) x-অক্ষের ছেদবিন্দুগুলির x-স্থানাঙ্ক নির্দেশ করে। ধরি, এই সমাধানগুলি $x_1$ এবং $x_2$ । আমরা জানি, একটি দ্বিঘাত সমীকরণ $ax^2+bx+c=0$ এর মূলদ্বয় $x_1, x_2$ হলে, $x_1+x_2 = -b/a$ এবং $x_1x_2 = c/a$ । এখানে $a=1$ , $b=2g$ , $c=c$ । তাহলে, $x_1 + x_2 = -2g$ এবং $x_1x_2 = c$ । x-অক্ষের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য হলো $|x_1 - x_2|$ । আমরা জানি, $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$ মান বসিয়ে পাই: $(x_1 - x_2)^2 = (-2g)^2 - 4c$ $(x_1 - x_2)^2 = 4g^2 - 4c$ $(x_1 - x_2)^2 = 4(g^2 - c)$ অতএব, x-অক্ষের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য, $L_x = \sqrt{4(g^2 - c)}$ $L_x = 2\sqrt{g^2 - c}$ **৪. প্রদত্ত সমস্যা সমাধান (Solving the Given Problem):** দেওয়া আছে বৃত্তের সমীকরণ: $x^{2}+y^{2}-6x+10y+5=0$ এই সমীকরণটিকে বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ এর সাথে তুলনা করে পাই: $2g = -6 \Rightarrow g = -3$ $2f = 10 \Rightarrow f = 5$ $c = 5$ এখন, x-অক্ষের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্যের সূত্র $L_x = 2\sqrt{g^2 - c}$ -তে $g$ এবং $c$ -এর মান বসাই: $L_x = 2\sqrt{(-3)^2 - 5}$ $L_x = 2\sqrt{9 - 5}$ $L_x = 2\sqrt{4}$ $L_x = 2 \times 2$ $L_x = 4$ একক সুতরাং, প্রদত্ত বৃত্ত কর্তৃক x-অক্ষের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য হলো $4$ একক। **৫. গুরুত্বপূর্ণ বিষয় (Important Notes):** * যদি $g^2 - c > 0$ হয়, তবে বৃত্তটি x-অক্ষকে দুটি ভিন্ন বিন্দুতে ছেদ করে এবং খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য বিদ্যমান। * যদি $g^2 - c = 0$ হয়, তবে বৃত্তটি x-অক্ষকে স্পর্শ করে (অর্থাৎ, খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য শূন্য)। * যদি $g^2 - c < 0$ হয়, তবে বৃত্তটি x-অক্ষকে ছেদ করে না (বা স্পর্শও করে না), এবং এই ক্ষেত্রে খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য বাস্তব সংখ্যায় সংজ্ঞায়িত নয়। ৬. y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য (Length of y-intercept):** একইভাবে, y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের জন্য আমরা $x=0$ বসিয়ে থাকি এবং এর সূত্রটি হলো: $L_y = 2\sqrt{f^2 - c}$