$x^{2}+y^{2}-9=0$ এবং $x^{2}+y^{2}-4x=21$ বৃত্তদ্বয়- i. পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করে ii. এর স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-3. 0). iii. এর সাধারণ স্পর্শক 3 টি নিচের কোনটি সঠিক?

প্রথম বৃত্তটির সমীকরণ $x^2+y^2=9$ , যার কেন্দ্র $C_1 = (0,0)$ এবং ব্যাসার্ধ $r_1=3$ . দ্বিতীয় বৃত্তটির সমীকরণ $x^2-4x+y^2=21$ . এটিকে $(x-2)^2 + y^2 = 25$ আকারে লেখা যায়। সুতরাং, এর কেন্দ্র $C_2 = (2,0)$ এবং ব্যাসার্ধ $r_2=5$ . কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $d = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{4} = 2$ . i. অন্তঃস্পর্শ করার শর্ত হলো $d = |r_1 - r_2|$ . এখানে $d=2$ এবং $|r_1 - r_2| = |3-5| = |-2| = 2$ . যেহেতু $d = |r_1 - r_2|$ , তাই বৃত্তদ্বয় পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করে। ii. অন্তঃস্পর্শবিন্দু নির্ণয় করার জন্য, আমরা কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী রেখাংশকে ব্যাসার্ধদ্বয়ের অনুপাত (বা অন্তর) দিয়ে ভাগ করি। যেহেতু বৃত্তদ্বয় অন্তঃস্পর্শ করে, স্পর্শবিন্দুটি এদের কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক রেখার উপর অবস্থিত। $C_1=(0,0)$ এবং $C_2=(2,0)$ । স্পর্শবিন্দু P হবে $C_2$ এর উপর $r_2$ দূরত্বে অবস্থিত এবং $C_1$ এর দিকে। $P = C_1 + \frac{r_1}{r_1-r_2}(C_2-C_1) = (0,0) + \frac{3}{3-5}((2,0)-(0,0)) = \frac{3}{-2}(2,0) = (-3,0)$ . অথবা, $P = C_2 + \frac{r_2}{r_2-r_1}(C_1-C_2) = (2,0) + \frac{5}{5-3}((0,0)-(2,0)) = (2,0) + \frac{5}{2}(-2,0) = (2,0) + (-5,0) = (-3,0)$ . সুতরাং, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-3, 0). iii. দুটি ভিন্ন ব্যাসার্ধের এবং পরস্পর অন্তঃস্পর্শকারী বৃত্তের কেবল একটি সাধারণ স্পর্শক থাকে। এই ক্ষেত্রে, সাধারণ স্পর্শকটি হল $x=-3$ . সুতরাং, i এবং ii উভয় বিবৃতিই সঠিক।