$f(x)=\sqrt{x}$ হলে i. $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ ii. $\int_{0}^{1}f\left(x\right)dx=\frac{2}{3}$ iii. $\int\frac{sec^{2}x}{f\left(tanx\right)}dx=\frac{1}{2}\sqrt{tanx}+c$

$f(x)=\sqrt{x}$ হলে, i. $f'(x)$ নির্ণয় করি। $f(x) = x^{1/2}$ । অন্তরীকরণের সূত্র অনুযায়ী, $f'(x) = \frac{1}{2}x^{1/2-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ । সুতরাং, i সত্য। ii. $\int_{0}^{1}f\left(x\right)dx = \int_{0}^{1}\sqrt{x}dx = \int_{0}^{1}x^{1/2}dx$ । এটি নির্ণয় করলে হয় $[\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}]_{0}^{1} = [\frac{x^{3/2}}{3/2}]_{0}^{1} = [\frac{2}{3}x^{3/2}]_{0}^{1} = \frac{2}{3}(1^{3/2}) - \frac{2}{3}(0^{3/2}) = \frac{2}{3}$ । সুতরাং, ii সত্য। iii. $\int\frac{sec^{2}x}{f\left(tanx\right)}dx = \int\frac{sec^{2}x}{\sqrt{tanx}}dx$ । এখানে $u = tanx$ ধরলে, $du = sec^{2}xdx$ । তাহলে সমাকলনটি দাঁড়ায় $\int\frac{1}{\sqrt{u}}du = \int u^{-1/2}du = \frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1} + c = \frac{u^{1/2}}{1/2} + c = 2\sqrt{u} + c = 2\sqrt{tanx} + c$ । প্রশ্নানুসারে, $\int\frac{sec^{2}x}{f\left(tanx\right)}dx=\frac{1}{2}\sqrt{tanx}+c$ দেওয়া আছে, যা আমাদের প্রাপ্ত ফলাফলের সাথে মেলে না। সুতরাং, iii মিথ্যা। যেহেতু i এবং ii সত্য, তাই সঠিক বিকল্প হলো 1) i ও ii।