$\int e^{x}\left(\frac{1}{2x}-\frac{1}{x}\right)dx$ এর মান

এই ধরণের ইন্টিগ্রাল সমাধানের জন্য একটি পরিচিত সূত্র আছে। যদি আমাদের $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx$ আকারের একটি ইন্টিগ্রাল থাকে, তবে এর মান হলো $e^x f(x) + c$ . এখানে, প্রদত্ত ইন্টিগ্রালটি হলো $\int e^x \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}\right) dx$ . আমরা যদি $f(x) = \frac{1}{x}$ ধরি, তাহলে $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ . তাহলে ইন্টিগ্রালটি $\int e^x \left(f(x) + f'(x)\right) dx$ আকারে আসে, যেখানে $f(x) = \frac{1}{x}$ . সুতরাং, ইন্টিগ্রালের মান হবে $e^x f(x) + c = e^x \cdot \frac{1}{x} + c = \frac{e^x}{x} + c$ . একটি মাইনাস চিহ্ন থাকার কারণে, আমাদের ইন্টিগ্রালটিকে $\int e^x \left(-\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right) dx$ হিসাবে লিখতে হবে। এই ক্ষেত্রে, যদি $f(x) = -\frac{1}{x}$ ধরি, তবে $f'(x) = \frac{1}{x^2}$ . তখন ইন্টিগ্রালটি $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx$ আকারের হয়। সুতরাং, এর মান হবে $e^x f(x) + c = e^x \left(-\frac{1}{x}\right) + c = -\frac{e^x}{x} + c$ . তাই, সঠিক উত্তরটি হলো $-\frac{e^x}{x}+c$ .